MATEK (INTEGRAL)

INTEGRAL

Integral Tak Tentu (Indefinite Integral): Kebalikan dari diferensial. Merupakan konsep yg berhubungan dengan proses penemuan suatu fungsi asal, apabila turunan dari fungsinya diketahui.

Integral Tartentu (definite integral) : Suatu konsep yang berhubungan dengan suatu proses pencarian luas suatu area yang batas-batasnya sudah diketahui.

Integral Tak Tentu

Bentuk Umum:

⌠f(X)dx = F(x) + K

K= Sembarang konstanta

f(x) dx = Diferensial dari F(x)

f(x) =Integran

d(x)= Diferensial

f(x)= Integral Partikuler

Proses mengintegralkan disebut INTEGRAS

Rumus –Rumus Umum :

1.⌠x^{n dx=} xⁿ⁺¹⁺ K / ⁿ⁺¹

a)     ⌠X⁴ dx= x⁴⁺¹/⁴⁺¹

= 0.25X⁵+K

b)    ⌠3X² dX = 3X²⁺¹/²⁺¹+K/²⁺¹

=X³+K

c)     =⌠(X+1)2 dX = (X+1)²⁺¹+K/²⁺¹

=1/3(X+1)³+k

·        ⌠(2X+1)² dX?

=⌠(2X+1)² dX 2X+1/2dX)

=1/2⌠(2X+1)² 2dX

·        1/2.1/3(2X+1)²+K

1/C (2X=1)³+K

2.⌠1/X dX = Ln X+K

Contoh:  ⌠3/X d(X) = ⌠3/X+1 d(X+1)

            = 3Ln (X+1) + K

3. ⌠e^x dX = ex+ K

  ⌠e^u du = e^{u+ K} ; U=f(x)

  Contoh:

1.     ⌠e^x+2 dX = ⌠ ex+2 d (x+2)

          =e^x+2 +K

2.     e^2x dX= ½ ⌠e^2x d(2X)

          =1/2 ⌠e^2X + K

3.     ⌠e^-3+2 dX = -1/3 ⌠e^-3+2 d(-3x+2)

=-1/3 e^-3x+2 + K

4.     ⌠f(x) +g(x)dX = ⌠f(x) dX

Contoh;

a.      ⌠x⁴+ 3X²) dX= ⌠X⁴ dX + ⌠3X² dX

=X⁵/5 + X³ + K

b.     ⌠(ex + 1/X) dX = ⌠e^x dX + ⌠1/X dX

=e^X + Ln X + K

5.     ⌠n f(X) d X =n f(X) dX n ≠ 0   

Contoh:

                                      I.            ⌠3x² dX = 3 ⌠X² dX

           = 3X²⁺¹/2+1 + K

                                  II.            ⌠-X³ dX = -1⌠X³ dX

         = -X³+1/3+1 = -1/4X⁴ + K

Penerapan Ekonomi

1.     Fungsi Biaya

Biaya Total = C = f (Q)

Biaya Marginal = C2 = dC/dQ = f2 (Q)

C=⌠MCdQ =⌠f’(Q) dQ

Contoh :

Dik: Biaya Marginal Sebuah perusahaan adalah MC=3Q2-6Q+4. Carilah persamaan biaya total?

Jwb:

Biaya total  = C = ⌠MC dQ

C=3Q²⁺¹/2+1 – 6Q¹⁺¹/1+1 + 4Q

   = Q3-3Q²+4Q+K

2.     Fungsi penerimaan

Penerimaan total :  P= f(Q)

Penerimaan Marginal MR= R2 = dR/dQ= f’(Q)

R’ = ⌠MR dQ= ⌠f’(Q) dQ

Contoh:

Dik: Fungsi penerimaan Marginal sebuah perusahaan adalah MR= 16-4Q, tentukan penerimaan totalnya!

Jawab

R =⌠MR dQ = ⌠16Q-2Q²+ K

       =16Q-2Q² + k

3.     Fungsi Utilitas

Utilitas Total: U=f(Q)

Utilitas Marginal MR= U’= dU/dQ = f’ (Q)

U = ⌠MU dQ = ⌠f’(Q) dQ

Contoh:

Tentukan Utilitas total dari seorang konsumen jika utilitas Marginalnya adalah MU =90-10Q

Jawab:

U =⌠MU dQ = ⌠90-10Q dQ

=90Q-5Q²+K

4.     Fungsi Produksi

Produk total: P= f(x)

P=Keluaran

X=Masukan

Produk marginal : MP= P’= dP/dX = f’(X)

P=⌠MP dX = ⌠f’(X) dX

Contoh: Jika MC= 18X-3X² maka produk totalnya adalah?

P=⌠18X-3X²dX

   9X²-X³ + K