INTEGRAL
Integral Tak Tentu (Indefinite Integral): Kebalikan dari diferensial. Merupakan konsep yg berhubungan dengan proses penemuan suatu fungsi asal, apabila turunan dari fungsinya diketahui.
Integral Tartentu (definite integral) : Suatu konsep yang berhubungan dengan suatu proses pencarian luas suatu area yang batas-batasnya sudah diketahui.
Integral Tak Tentu
Bentuk Umum:
⌠f(X)dx = F(x) + K
K= Sembarang konstanta
f(x) dx = Diferensial dari F(x)
f(x) =Integran
d(x)= Diferensial
f(x)= Integral Partikuler
Proses mengintegralkan disebut INTEGRAS
Rumus –Rumus Umum :
1.⌠xn dx= xn+1+ K / n+1
a) ⌠X4 dx= x4+1/4+1
= 0.25X5+K
b) ⌠3X2 dX = 3X2+1/2+1+K/2+1
=X3+K
c) =⌠(X+1)2 dX = (X+1)2+1+K/2+1
=1/3(X+1)3+k
· ⌠(2X+1)2 dX?
=⌠(2X+1)2 dX 2X+1/2dX)
=1/2⌠(2X+1)2 2dX
· 1/2.1/3(2X+1)2+K
1/C (2X=1)3+K
2.⌠1/X dX = Ln X+K
Contoh: ⌠3/X d(X) = ⌠3/X+1 d(X+1)
= 3Ln (X+1) + K
3. ⌠ex dX = ex+ K
⌠eu du = eu+ K ; U=f(x)
Contoh:
1. ⌠ex+2 dX = ⌠ ex+2 d (x+2)
=ex+2 +K
2. e2x dX= ½ ⌠e2x d(2X)
=1/2 ⌠e2X + K
3. ⌠e-3+2 dX = -1/3 ⌠e-3+2 d(-3x+2)
=-1/3 e-3x+2 + K
4. ⌠f(x) +g(x)dX = ⌠f(x) dX
Contoh;
a. ⌠x4+ 3X2) dX= ⌠X4 dX + ⌠3X2 dX
=X5/5 + X3 + K
b. ⌠(ex + 1/X) dX = ⌠ex dX + ⌠1/X dX
=eX + Ln X + K
5. ⌠n f(X) d X =n f(X) dX n ≠ 0
Contoh:
I. ⌠3x2 dX = 3 ⌠X2 dX
= 3X2+1/2+1 + K
II. ⌠-X3 dX = -1⌠X3 dX
= -X3+1/3+1 = -1/4X4 + K
Penerapan Ekonomi
1. Fungsi Biaya
Biaya Total = C = f (Q)
Biaya Marginal = C2 = dC/dQ = f2 (Q)
C=⌠MCdQ =⌠f’(Q) dQ
Contoh :
Dik: Biaya Marginal Sebuah perusahaan adalah MC=3Q2-6Q+4. Carilah persamaan biaya total?
Jwb:
Biaya total = C = ⌠MC dQ
C=3Q2+1/2+1 – 6Q1+1/1+1 + 4Q
= Q3-3Q2+4Q+K
2. Fungsi penerimaan
Penerimaan total : P= f(Q)
Penerimaan Marginal MR= R2 = dR/dQ= f’(Q)
R’ = ⌠MR dQ= ⌠f’(Q) dQ
Contoh:
Dik: Fungsi penerimaan Marginal sebuah perusahaan adalah MR= 16-4Q, tentukan penerimaan totalnya!
Jawab
R =⌠MR dQ = ⌠16Q-2Q2+ K
=16Q-2Q2 + k
3. Fungsi Utilitas
Utilitas Total: U=f(Q)
Utilitas Marginal MR= U’= dU/dQ = f’ (Q)
U = ⌠MU dQ = ⌠f’(Q) dQ
Contoh:
Tentukan Utilitas total dari seorang konsumen jika utilitas Marginalnya adalah MU =90-10Q
Jawab:
U =⌠MU dQ = ⌠90-10Q dQ
=90Q-5Q2+K
4. Fungsi Produksi
Produk total: P= f(x)
P=Keluaran
X=Masukan
Produk marginal : MP= P’= dP/dX = f’(X)
P=⌠MP dX = ⌠f’(X) dX
Contoh: Jika MC= 18X-3X2 maka produk totalnya adalah?
P=⌠18X-3X2dX
9X2-X3 + K